14. Cálculo del flash Isotermico (T, P)¶

Se presenta una implementación del calculo del flash isotermico bifasico utilizando la ecuación de estado Peng-Robinsong (PR) [2] junto con las reglas de mezclado de Van Der Waalls [2].

El cálculo del flash isotermico bifasico es un cálculo básico en la introducción de los procesos de separación porque es el esqeuma tecnologíco de separación más simple, en el que ingresa una corriente de fluido a un «tanque» calentado por un flujo de calor en el que se obtiene una corriente de salida por cada fase presente en el sistema. En el caso bifasico, una corriente de líquido y otra de vapor, tal como se muestra en la figura 1.

Figura 1. Esquema del cálculo del flash isotermico

14.1 Modelo flash líquido-vapor¶

El modelo del flash isotermico bifasico, corresponde al balance de materia global y por componente en el tanque separador que se muestra en la figura (1), junto con la condición de equilibrio de fases líquido-vapor.

Coeficiente de distribución $K_i$

$Ki = \frac {yi} {xi}$

Aproximación de wilson para el coeficiente de distribución $K_i$

$lnK_i = ln \left(\frac {Pc_i} {P}\right ) + 5.373(1 + w_i)(1 - \frac {Tc_i} {T})$

Rachford-Rice $g(\beta)$

$g(\beta) = \sum \limits_{i=1}^{C} (y_i - x_i)$

$g(\beta) = \sum \limits_{i=1}^{C} \frac {K_i - 1} {1 - \beta + \beta K_i}$

Derivada de la función Rachford-Rice $g(\beta)$

$\frac {dg} {d \beta} = \sum \limits_{i=1}^{C} z_i \frac {(K_i - 1)^2} {(1 - \beta + \beta K_i)^2} < 0$

Valores límites de la función Rachford-Rice $g(\beta)$

$g(0) = \sum \limits_{i=1}^{C} (z_i K_i - 1) > 0$

$g(1) = \sum \limits_{i=1}^{C} (1 - \frac {z_i} {K_i}) < 0$

Ecuaciones para calcular las fracciones molares de cada fase

$y_i \frac{K_i z_i} {1 - \beta + \beta K_i}$

$x_i = \frac{z_i} {1 - \beta + \beta K_i}$

Relaciones que determinan los valores mínimos y máximos para $\beta$

$1 - \beta + \beta K_i >= K_i z_i$

$\beta \geq \frac {K-i z_i - 1} {K_i - 1}$

$1 - \beta + \beta K_i >= z_i$

$\beta \leq \frac {z_i - 1} {1 - K_i}$

Valores extremos de la fracción de vapor en el sistema $\beta$

$\beta_{min} = 0$

$\beta_{max} = 1$

14.2 Algoritmo¶

Especificar la Presión $P$ , Temperatura $T$ y número de moles $N$ de cada componente del sistema
Calcular el coeficiente de distribución $K_i^{wilson}$ a partir de la relación de Wilson
Calcular el valor de $\beta_{min}$
Calcular el valor de $\beta_{max}$
Calcular el promedio de beta, usando Beta minimo y Beta máximo
Resolver la ecuación de Rachford-Rice $g(\beta)$ , para calcular $\beta$ con una tolerancia de $1x10^{-6}$
Calcular las fracciones molares del líquido $x_i$ y del vapor $y_i$
Calcular los coeficientes de fugacidad $\hat{\phi_i}$ para las fracciones molares del líquido $x_i$ y del vapor $y_i$
Calcular el coeficiente de distribución $K_i$ a partir de los coeficientes de fugacidad del componente i $\hat{\phi_i}$
Volver a resolver la ecuación de Rachford-Rice $g(\beta)$ , para calcular $\beta$ con una tolerancia de $1x10^{-6}$
Verificar la convergencia del sistema con una tolerancia de $1x10^{-6}$ para $\Delta K_i = \left | K_{i}^{j+1} - K_{i}^{j} \right|$ , siendo está situación la convergencia del procedimiento.

14.2.1 Implementación¶

En la implementación del cálculo del flash isotermico, se tiene 3 partes importantes:

Cálculo de los coeficientes de distribución por medio de la ecuación de Wilson
Cálculo de los valores mínimos y máximos para la fracción $\beta$
Cálculo del step para calcular la fracción $\beta$

Ecuación de Wilson¶

def Ki_wilson(self):
    """Equation of wilson for to calculate the Ki(T,P)"""
    variable_0 = 5.373 * (1 + self.w) * (1 - self.Tc / self.T)
    lnKi = np.log(self.Pc / self.P) + variable_0
    self.Ki = np.exp(lnKi)
    return self.Ki

Cálculo de los valores mínimos y máximos para la fracción $\beta$ ¶

def beta_initial(self):
    self.Ki = self.Ki_wilson()
    self.Bmin = (self.Ki * self.zi - 1) / (self.Ki - 1)
    self.Bmax = (1 - self.zi) / (1 - self.Ki)
    self.Binit = (np.max(self.Bmin) + np.min(self.Bmax)) / 2
    return self.Binit

Cálculo del step para calcular la fracción $\beta$ ¶

def beta_newton(self):
    iteration, step, tolerance = 0, 1, 1e-5
    while True:
        self.Binit = self.Binit - step * self.rachford_rice()[0] / self.rachford_rice()[1]
        iteration += 1
        while self.Binit < self.Bmin or self.Binit > self.Bmax:
            step = step / 2
        if abs(self.rachford_rice()[0]) <= tolerance or (iteration >= 50):
            break
    return self.Binit

14.3. Resultados¶

A continuación se muestran los resultados numéricos del calculo del flash isotermico bifasico para una mezcla de los componentes (C3-Ci4-C4), que corresponde al cálculo del flash isotermico propuesto por (Elliott & Lira, 2012) el ejemplo 10.7 de su libro Introductory Chemical engineering thermodynamics. En la tabla 1, se presentan las especificaciones de la presión P, temperatura T y flujo F junto con las fracciones molares del líquido, del vapor y la fracción de fase resultanten usando como modelo termodinámico la ecuación de estado Peng-robinson (PR) y las reglas de mezclado de Van Der Waalls.

En la tabla 1., se presenta el resultado del cálculo del flash isotermico utilizando solo el $K_i^{wilson}$

Tabla.1 flash isotermico $K_i(T, P)$ Mezcla ideal

Presión Bar	Temperatura K	Flujo F mol/h
8	320	1

Componente	$z_i$	líquido $x_i$	Vapor $y_i$
C3	0.23	0.18357118	0.37209837
Ci4	0.67	0.70479988	0.56349276
C4	0.10	0.11162895	0.06440887

función g	derivada función $\frac{dg}{d \beta }$	$\beta$
6.1017797856749434e-07	-0.20663315922997191	0.24627123315157093

mientras que en la tabla 2, se muestra el resultado del cálculo del flash isotermico utilizando el resultado de $K_i^{wilson}$ como valor inicial para el procedimiento del cálculo del flash isotermico incluyento el cálculo de los coeficientes de fugacidad $\hat{\phi_i}$ con la ecuación de estado PR.

Tabla.2 Flash isotermico $K_i(T, P, x_i, y_i)$ (PR)

función g	derivada función $\frac{dg}{d \beta }$	$\beta$
-9.7482523918959729e-06	-0.13108663002971882	0.19530673657

De esta forma, se observa que el algoritmo empleando la ecuación de estado Peng-Robinson (PR) converge en a una solución cercana de la solución que utiliza la aproximación de wilson para el coeficiente de distribución Ki, mostrando ser efieciente para casos simples como el presente en este capítulo.

14.3.1 Efecto de la temperatura y presión sobre $\beta$ ¶

Para el mismo sistema que se presentó en las tabla 1 y 2, en la figura 2 se muestra la solución del cálculo del flash isotermico para un rango de presión y temperatura en el cual la fracción vaporizada $\beta$ varia entre 0 y 1. En este caso, al aumentar la presión $\beta$ disminuye mientras que el efecto de la temperatura es el contrario.

Figura 2. Efecto de la temperatura y presión sobre $\beta$

14.4 Conclusiones¶

Se implemento el cálculo del flash isotermico bifasico utilizando la ecuación de estado Peng-Robinsong (PR) tomando las recomendaciones planteadas en el curso de termodinámica de fluidos para mejorar la convergencia del cálculo.
Se encontró que se utilizan en promedio 3 iteraciones para calcular el valor $\beta$ en cada paso que se mantienen constantes los valores $K_i$ .

14.5 Referencias¶

Curso de especialización en Termodinámica de fluidos. Ph.D Martín Cismondí. Marzo-Junio (2017)
Introductory Chemical engineering thermodynamics. J. Richard Elliott , Carl T. Lira. Prentice Hall (2012)